基礎系　数学 - 専門基礎

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大岩顕、奥薗透、松野俊一、岡隆史著

東京大学工学教程編纂委員会編

目次

はじめに

1 ベクトル空間

1.1 線形空間

1.2 基底と成分表示

1.3 内積と距離

1.3.1 内積

1.3.2 距離

1.4 ベクトル積

1.4.1 三重積

1.5 正射影

2 スカラー場，ベクトル場，テンソル場

2.1 場という考え方

2.2 変換性

2.2.1 回転 (rotation)

2.2.2 反転，鏡映 (inversion, reflection)

3 ベクトル関数

3.1 1 変数のベクトル関数

3.2 2 変数のベクトル関数

4 場の諸微分

4.1 スカラー関数の勾配

4.1.1 全微分と勾配

4.2 ベクトル場の発散

4.3 ベクトル場の回転

5 線積分，面積分

5.1 2 次元，3 次元積分の復習

5.2 線積分

5.2.1 線積分の直観的意味

5.2.2 パラメータを用いた線積分の定式化，線積分の具体例

5.3 面積分

5.3.1 パラメータを用いた面積分の定義と具体例

6 積分定理

6.1 Stokes の定理

6.2 Green の定理

6.3 Gauss の定理

7 ベクトル解析の諸公式とその応用

7.1 ベクトル解析における有用な公式とその導出

7.1.1 Kronecker のデルタと Levi-Civita 記号

7.1.2 Laplace 演算子

7.2 積分定理と微分公式の応用

7.2.1 スカラー場，テンソル場に対する Gauss-Stokes の定理

7.2.2 Green の積分公式と Poisson 方程式の解

7.3 完全微分 (ポテンシャル) の条件

7.4 Helmholtz の分解定理

8 座標変換と曲線座標系

8.1 曲線座標

8.2 直交曲線座標

8.3 一般座標系での微分演算子

8.3.1 勾配 (gradient)

8.3.2 発散 (divergence)

8.3.3 ラプラシアン (Laplacian)

8.3.4 回転 (rotation)

8.4 さまざまな直交曲線座標系

8.4.1 円柱座標(r, θ, z)

8.4.2 極座標 (r, θ, ϕ)

8.4.3 双曲座標 (u, v, z)

9 ベクトル方程式の例

9.1 古典力学から

9.1.1 角運動量保存則

9.1.2 Kepler 問題の解法

9.2 拡散方程式

9.3 流体力学への応用

9.3.1 流体の運動方程式—Euler 方程式—

9.3.2 流体力学における Euler 方程式の慣性項の書き換え

9.3.3 応力とその基本的性質

9.3.4 Newton 流体における応力の速度勾配依存性と Navier-Stokes方程式

9.3.5 流体における運動量保存

9.4 電磁気学から

9.4.1 Maxwell 方程式の積分形

9.4.2 Maxwell 方程式の微分形

9.4.3 電磁場の担うエネルギーと運動量—Poynting ベクトルとMaxwell の応力テンソル—

9.4.4 ベクトルポテンシャル

参考文献

おわりに

索引

キーワード

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