基礎系 数学 - 専門

微分幾何学とトポロジー 関連検索

永長 直人著

東京大学工学教程編纂委員会編


目次

はじめに
1 微分形式
1.1 p ベクトル
1.2 p ベクトルの外積
1.3 微分形式
1.4 外微分
1.5 微分形式の変換
1.6 完全形式と閉形式
1.7 星印作用素
1.8 Poincar´e の補題 (Euclid 空間の場合)
2 曲線と曲面の微分幾何学
2.1 曲 線
2.1.1 曲線の表示
2.1.2 曲線の接線,接触平面,曲率
2.2 曲 面
2.2.1 曲面の表示
2.2.2 基本形式
2.2.3 計量テンソルと Gauss の公式,Weingarten の公式
2.2.4 ベクトルの平行移動
2.2.5 共変微分
2.2.6 曲 率
2.2.7 もっともすばらしい定理
2.2.8 微分形式による記述
2.2.9 曲面論の基本定理
2.2.10 動標構を用いた記述
2.2.11 測地線
2.2.12 球による具体的計算
2.2.13 Gauss-Bonnet の定理
3 多様体
3.1 多様体とは
3.2 接空間
3.2.1 接ベクトル空間
3.2.2 双対空間
3.2.3 テンソル
3.2.4 多様体上の微分形式
3.3 Lie 微 分
3.4 部分空間と Frobenius の定理
3.5 Lie 群と Lie 代数
3.5.1 多様体としての群
3.5.2 Lie 群,Lie 代数の例
3.5.3 Lie 群と Lie 代数の随伴表現
3.6 Riemann幾何学
3.6.1 アフィン接続
3.6.2 距離と内積
3.6.3 曲 率
3.7 ラプラシアンと調和形式
3.7.1 距離空間
3.7.2 星印作用素とラプラシアン
3.7.3 Hodge 分 解
4 多様体と積分
4.1 単 体
4.2 多様体上の積分
4.3 Stokes の定理
5 ホモロジーとコホモロジー
5.1 群論の準備
5.2 ホモロジー群
5.3 ホモロジー群の実例
5.4 de Rham コホモロジー理論
5.5 Poincar´e の補題と de Rham の定理
5.6 de Rham コホモロジー群の例
6 ファイバー束と特性類
6.1 ファイバー束とは
6.2 ファイバー束における接続と曲率
6.3 特性類
6.3.1 コホモロジー類としての特性類
6.3.2 Chern 類
6.3.3 Pontryagin 類
6.3.4 Euler 類
7 指数定理と Morse 理論
7.1 指数定理
7.2 Morse 理 論
7.3 量子力学
7.4 超対称量子力学と Morse 理論
8 ホモトピー理論
8.1 動機付け
8.2 基本群
8.3 秩序変数の欠陥の分類
8.4 高次ホモトピー群
9 カタストロフィー理論
9.1 カタストロフィー理論の考え方
9.2 Thom の定理と初等カタストロフィー
参考文献
おわりに
索 引
affine connection Betti数 Bianchiの恒等式 Chern類 Christoffel’s symbols Christoffelの記号 Christoffクリストフェルの記号 de Rhamの定理 differentiable manifold differential ideal e の補題法線単位ベクトル electromagnetic field Euler’s theo-rem Eulerの定理 Euler数 Euler方程式 Euler類 fiber fiber bundle first fundamental form Fredholm演算子 Frenet-Serret’s formula Frenet-Serretの公式 Frobeniusの定理 Gauss-Bonnetの定理 Gauss’s formula Gauss’sfundamental equation Gaussの公式 Gaussの基本方程式 Gaussの定理 Gauss曲率 Hesse行列 Hodge分解 Jacobi’s iden-tity Jacobiの恒等式 Lagrange乗数 Leibniz’srule Leibniz則 Lie代数 Lie微分 Lie移動 Lie群 m 単体 m 鎖 M¨obius strip M¨obiusの帯 M¨メビウスの帯 Mainardi-Codazzi’s fundamental equation Mainardi-Codazziの基本方程式 Mainardi-Codazziの式 Maxwell接続 Minkowski空間 Morseの定理 (Morse’s Morse指数 Morse理論 Morse関数 odinger方程式準同型写像 p 輪体 Pauli’s exclu-sion principle Pauliの排他律 Pauli行列 Poincar´e’slemma Poincar´eの補題 Poincar´ポアンカレの補題 Pontrjagin類 principal fiber bundle reflectivity Schr¨odinger equation Schr¨odinger方程式 Schr¨シュレディンガー方程式 Stokesの定理 Tom’s theorem Tomの定理 tunnel effect Weingarten’s formula Weingartenの公式 Witten指数 ウィッテン指数 オイラーの定理 オイラー数 オイラー方程式 オイラー類 ガウス・ボンネの定理 ガウスの公式 ガウスの基本方程式 ガウスの定理 ガウス曲率 カタストロフィー理論 ゲージ理論 コホモロジー コホモロジー群 コントロール表面 コンパクトな集合 ストークスの定理 チャーン類 テンソル ド・ラームの定理 トーラス トムの定理 トンネル効果 の定理可換群 の縮約記法アフィン接続 パウリの排他律 ビアンキの恒等式 ファイバー ファイバー束 フェルミオン フレドホルム演算子 フレネー・セレーの公式 フロべニウスの定理 ベクトル空間 ヘシアン ヘッセ行列 ベッチ数 ボゾン ホッジ分解 ホモトープ ホモトピー理論 ホモロジー群 ポントリャーギン類 マイナルディ・コダッチの基本方程式 マイナルディ・コダッチの式 マクスウェル接続 ミンコウスキー空間 モースの定理 (Morse’s モース指数 モース理論 モース関数 ヤコビの恒等式 ライプニッツ則 ラグランジュ乗数 ラプラシアン作用素 リー代数 リー微分 リー移動 リー群 ループ ワインガルテンの公式 一般相対性理論 不変多項式 並進群 主ファイバー束 二重被覆 位数 位相 位相空間 余接ベクトル束 余核 全射 共動時間微分 共変ベクトル 共変外微分 共変微分 内積 剰余類 加群 動標構 単位元 単体 単射 単連結 双対基底 双対境界輪体群 双対空間 反変ベクトル 反射則 同型 同型写像 向き付け可能 回転 垂直部分空間 基底 基本群 境界輪体群 外微分 外積 完全形式 対称則 左不変 平均曲率 平行移動 平衡空間 微分イデアル 微分可能多様体 接ベクトル束 接空間 推移則 星印作用素 曲率 曲率テンソル 曲面論の基本定理 楕円型演算子 構造安定性 構造定数 構造群 欠陥 正規直交標溝 正規部分群 水平部分空間 流体力学 消滅演算子 渦糸 測地的曲率ベクトル 測地線 準同型定理 特性類 生成元 生成演算子 発散 直和分解 秩序パラメータ 種数 積分曲線 第一基本形式 第二基本形式 第二量子化法 等長変換 結合律 縮約 臨界点 自然標構 自発的対称性の破れ 螺旋曲線 計量テンソル 記号群 調和形式 輪体 逆元 連結 連続の方程式 部分群 部分集合 閉形式 閉集合 開集合 階数 随伴表現 集合 電磁場