基礎系 数学 - 専門

確率・統計III 関連検索

駒木 文保、清 智也著

東京大学工学教程編纂委員会編


目次

はじめに
1 統計モデルと尤度
1.1 統計モデル
1.2 尤度と最尤推定
1.2.1 最尤法
1.2.2 最尤法の不変性
1.2.3 最尤法と Kullback–Leibler ダイバージェンス
1.3 十分統計量
1.3.1 十分統計量の定義と意味
1.3.2 分解定理
2 推 定
2.1 推定量
2.1.1 推定量の定義
2.1.2 不偏推定量
2.1.3 平 均 2 乗誤差
2.1.4 Fisher 情報量と Cram´er–Rao の不等式
2.2 最尤推定量の漸近理論
2.2.1 一致性
2.2.2 漸近有効性
2.3 Fisher–Rao 計量と情報幾何
2.4 Bayes 法
3 検定とモデル選択
3.1 検 定
3.1.1 簡単な例
3.1.2 仮説検定の一般論
3.1.3 Neyman–Pearson の補題
3.2 尤度比検定
3.2.1 単純帰無仮説の尤度比検定
3.2.2 複合帰無仮説の尤度比検定
3.2.3 尤度比検定の漸近理論
3.2.4 区間推定
3.3 モデル選択
3.3.1 赤池情報量規準
3.3.2 クロスバリデーション
4 確率の基礎
4.1 確率空間
4.1.1 確率空間の定義
4.1.2 実数軸上の確率測度
4.1.3 多次元空間上の確率測度
4.2 確率変数と期待値
4.2.1 確率変数の定義
4.2.2 期待値
4.2.3 独立性
4.2.4 期待値および Lebesgue 積分に関する諸定理
4.3 大数の法則
4.3.1 確率変数列の収束
4.3.2 大数の弱法則
4.3.3 大数の強法則
4.4 確率分布の弱収束
4.4.1 弱収束の定義と性質
4.4.2 極値分布
4.4.3 特性関数
4.4.4 中心極限定理
4.4.5 連続性定理の証明の概略
4.5 条件付期待値
4.5.1 測度論的な条件付期待値の定義
4.5.2 密度関数を用いた定義との整合性
5 Markov 連 鎖
5.1 Markov 連鎖の定義と例
5.1.1 離散時間の確率過程
5.1.2 Markov 連鎖の定義
5.2 Markov 連鎖の性質
5.2.1 既約性,非周期性
5.2.2 再帰性
5.3 定常分布と極限分布
5.3.1 存在定理
5.3.2 存在定理の証明
5.4 Poisson 過 程
6 Brown 運動と確率積分
6.1 Brown 運 動
6.1.1 定義と性質
6.1.2 増大情報系
6.2 確率積分
6.3 マルチンゲール
6.3.1 離散時間のマルチンゲール
6.3.2 連続時間のマルチンゲール
6.4 Brown 運動の存在性
7 伊藤の公式と確率微分方程式
7.1 伊藤の公式
7.1.1 1 次元の場合
7.1.2 多次元の場合
7.2 確率微分方程式
7.2.1 確率微分方程式の例
7.2.2 解の一意存在性
7.3 Girsanovの定理
8 拡散過程
8.1 Markov 性と強 Markov 性
8.1.1 Markov 性
8.1.2 強 Markov 性
8.2 生成作用素と後向き・前向き方程式
8.2.1 生成作用素
8.2.2 Kolmogorov の後向き方程式と前向き方程式
8.2.3 Cox–Ingersol–Ross 過程
8.3 楕円型偏微分方程式の解の表示
参考文献
おわりに
索 引
Bayes 法 Borel 集合族 Borel–Cantelli の補題 Brown 運動 Chapman–Kolmogorov の方程式 Chebyshev の不等式 Cox–Ingersoll–Ross 過程 Cram´er–Rao の不等式 Dirichlet 境界条件 Doob の不等式 er–Raoの不等式クロスバリデーション Fatou の補題 Fisher 情報行列 Fisher 情報量 Fisher 計量 Fisher–Rao 計量 Fisher–Rao 計量単調性 Fokker–Planck 方程式 Fr´echet 分布 Fubini の定理 Gauss 過程 Girsanov の定理 Gronwall の補題 Gumbel 分布 Haar 関数系 Jeffreys の事前分布 Jensen の不等式 Kolmogorov の前向き方程式 Kolmogorov の後向き方程式 Kolmogorov の拡張定理 Kullback–Leiber ダイバージェンス L´evy の反転公式 L´evy 分布 Lebesgue の収束定理 Lebesgue 測度 Lebesgue 積分 Lebesgue–Stieltjes 積分 Lipschitz 条件 Markov 性 Markov 連鎖 Markov 過程 Neyman–Pearson の補題 Ornstein-Uhlenbeck 方程式 Ornstein–Uhlenbeck 過程 p 値 Pearson の補題バイアス Perron–Frobenius の定理 Poisson 分布 Poisson 点過程 Poisson 過程 Radon–Nikodym の定理 Radon–Nikodym 微分 Rao–Blackwell の定理 Riemann–Stieltjes 積分 Schauder 関数系 Weibull 分布 Wiener 過程 σ-加法族 カップリング ガンベル分布 サイズ タイト ドリフト係数 パラメータ パラメトリックな統計モデル ビン・パッキング問題 フィッシャー情報量 フレシェ分布 マルチンゲール ランダムウォーク ンス完備 一様最小分散不偏推定量 一致推定量 不偏推定量 不変性 両側検定 事前分布 事後分布 事象 交差検証法 仮説 任意抽出定理 伊藤の公式 伊藤拡散過程 伊藤積分 伊藤過程 信頼区間 信頼集合 修正 偏り 停止時刻 優マルチンゲール 共役作用素 再帰的 出生死滅連鎖 分布収束 分布関数 分数 Brown 運動 分解定理 到達可能 力学系 劣マルチンゲール 劣調和関数 区間推定 十分統計量 単純仮説 単純対立仮説 単純帰無仮説 単調収束定理 単関数 反射原理 可測写像 可測空間 可測関数 可測集合 可約 (reducible 可逆 同時分布関数 同時確率分布 同時確率密度関数 同次 Markov 連鎖 周期 周辺分布関数 増大情報系 多次元 Brown 運動 安定分布 定常分布 密度関数 対数尤度関数 尤度方程式 尤度関数 帰無仮説 平均 2 乗誤差 平均収束 幾何 Brown 運動 弱収束 強 Markov 性 拡散係数 拡散過程 推定量 推移確率密度関数 推移確率行列 既約 時系列 時間的に一様な拡散過程 最尤推定値 最尤推定量 最強力検定 有効推定量 有意水準 期待値 条件付期待値 条件付独立 条件付確率 根元事象 検出力 検出力関数 極値分布 極限分布 概収束 標本 標本平均 標本空間 標本路 標本関数 標準 Brown 運動 正再帰的 正則な条件付確率 正規分布 母平均 母関数 水準 法則収束 測度 漸近有効性 片側検定 特性曲線法 特性関数 状態空間 独立 独立増分過程 生成する 生成作用素 発展的可測 直積測度 相互到達可能 相対エントロピー 確率分布 確率分布関数 確率収束 確率変数 確率密度関数 確率微分方程式 確率測度 確率積分 確率空間 確率過程 確率関数 移動平均過程 累積分布関数 経験分布関数 統計モデル 絶対連続 自己回帰過程 自然な増大情報系 複合仮説 複合対立仮説 複合帰無仮説 計数測度 赤池情報量規準 逆 Gauss 分布 連続性定理 連続状態 連続確率過程 適合 量フィルトレーション 階段過程 離散分布 離散状態 零再帰的 非同次 Poisson 過程 非周期的 非心 χ2 分布