基礎系 数学 - 専門

離散数学 関連検索

牧野 和久著

東京大学工学教程編纂委員会編


目次

は じ め に
1 集 合
1.1 集 合
1.2 集 合 の 演 算
2 グ ラ フ
2.1 無向グラフと有向グラフ
2.2 グラフの例と演算
2.3 路,閉路,連結性
2.4 木 と 有 向 木
2.5 グ ラ フ の 探 索
2.6 最 短 路 と 距 離
2.7 辺連結度と点連結度
2.8 平 面 グ ラ フ
2.8.1 球面やトーラスへの埋め込み
2.8.2 Euler の 公 式
2.8.3 平面グラフの双対性
3 2 項 関 係
3.1 2 項 関 係
3.2 同 値 関 係
3.3 順 序 関 係
4.2 半順序に基づく束の定義
4.3 有界束と有限束
4.4 部分束と集合束
4.5 モジュラ束と分配束
4.6 相補束と Boole 束
4.7 同 型 性
5 論 理 関 数
5.1 論理変数と論理式
5.2 2 項 論 理 演 算
5.3 論理関数とその表現
5.3.1 論理式による表現
5.3.2 論理関数の展開公式と論理式表現
5.3.3 論 理 回 路
5.3.4 2 分 決 定 図
5.4 簡潔な論理和形と論理積形
5.5 主項と主節の計算法
5.6 双対論理式と双対関数
5.7 単 調 関 数
5.8 Horn 関 数
5.9 2 次 関 数
5.10 閾関数と 2-単調関数
5.11 1-決 定 リ ス ト
5.12 真ベクトルの個数計算
6 組合せ論的数え上げ
6.1 順 列 と 組 合 せ
6.2 Stirling 数と Bell 数
6.3 母 関 数
6.4 反 転 公 式
6.4.1 2 項反転公式と Stirling の反転公式
6.4.2 M¨obius の反転公式
6.4.3 ふるいの公式と包除原理
7 グ ラ フ:発 展
7.1 交 差 グ ラ フ
7.1.1 線グラフと交差グラフ
7.1.2 区 間 グ ラ フ
7.1.3 弦 グ ラ フ
7.2 超 グ ラ フ
8 離 散 最 適 化
8.1 最 適 化 問 題
8.2 最 短 路
8.3 最小全域木とマトロイド
8.3.1 最 小 全 域 木
8.3.2 マ ト ロ イ ド
8.4 最大マッチング
8.5 最 大 流
8.6 充足可能性問題と NP 困難性
8.6.1 充足可能性問題
8.6.2 クラス NP と NP 困難性
8.7 巡回セールスマン問題と彩色問題
参 考 文 献
お わ り に
索 引
1-決定リスト 2 分 2 分決定リスト 2 分決定図 2 分決定木 2 部 2 重 2 重Horn関数 2 重ホーン関数 2 重ホーン関数⇒ 2 重 Horn 関数2 部グラフ 2 重ホーン関数double Horn function⇒ 2 重 Horn 関数2 部グラフ 2 重否定律 2 項反転公式 2 項定理 2 項関係 Banzhaf指数 Bell数 Birkhoffの定理 Birkhoffの表現定理 Birkhoffバーコフの定理 Birkhoffバーコフの表現定理 Boole変数 Boole束 Boole関数 Cayleyの定理 coNP 完全 Cook–Levinの定理 Cook–クック–レビンの定理 Davio展開 De Morganの法則 Dijkstraのアルゴリズム Dilworthの定理 Diracの定理 Euclid巡回セールスマン問題 Eulerの公式 Euler路 Euler閉路 Hallの定理 Hamilton路 Hamilton閉路 Hasse図 Helly性 Horn充足可能性問題 Horn変換可能な Horn変換可能な論理積形 Horn節 Horn規則 Horn論理積形 Horn関数 k 次 CNF k 次関数 k 点 k 辺 k 部 k 部グラフ k-充足可能性問題 k-単調関数 k-彩色 k-森 k-決定リスト Kruskalのアルゴリズム Kuratowskiの定理 Laplace行列 M¨obiusの反転公式 M¨obiusの関数 M¨メビウスの反転公式 M¨メビウスの関数 Mengerの定理 Mirskyの定理 NP 困難 NP 完全 Oreの定理 Petersenグラフ r-正則グラフ Reed–Muller標準形 Reed–リード–マラー標準形 Riemannのゼータ関数 Russellの背理 s-t カット s-t フロー s-t 流 Shannon展開 Shapley–Shubik指数 Shapley–シャープレイ–シュービック指数 Sperner族 Sperner超グラフ Stirlingの反転公式 Stirling数 Stoneの定理 T に由来する Turing帰着 Turing機械 Tutte–Bergeの定理 Tutte–タット–ベルジュの定理 v0-vk 路 Wagnerの定理 イデアル エドモンズ エドモンズ⇒ Edmondsオアの定理⇒ Ore の定理オイラーの公式⇒Euler の公式オイラー閉路⇒ Euler 閉路オイラー路⇒ Euler 路横断 エドモンズ⇒ Edmondsオアの定理⇒ Ore の定理オイラーの公式⇒Euler の公式オイラー閉路⇒ Euler 閉路オイラー路Euler path⇒ Euler 路横断 オアの定理 オイラー オイラー⇒ Euler 路クリーク オイラー⇒ Euler 閉路交互 オイラーEuler⇒ Euler 路クリーク オイラーEuler⇒ Euler 閉路交互 オイラーの公式 オイラー路 オイラー閉路 カットcuts-t カットs-t カットセット カット容量 カバーする クック–レビンの定理⇒ Cook–Levin の定理組合せ クック–レビンの定理Cook–Levin theo-rem⇒ Cook–Levin の定理組合せ クラスカルのアルゴリズム クラスカルのアルゴリズム⇒ Kruskal のアルゴリズムクラッタ クラスカルのアルゴリズムKruskal’s al-gorithm⇒ Kruskal のアルゴリズムクラッタ クラトフスキーの定理 クラトフスキーの定理⇒ Kuratowski の定理グラフgraph完全 クラトフスキーの定理⇒ Kuratowski の定理グラフ完全 グラフ的 グラフ的マトロイド クリーク クリーク数 クリーク路 クロー ゲート ケイリーの定理 ケイリーの定理⇒ Cayley の定理k-論理積形 ケイリーの定理Cayley’s theorem⇒ Cayley の定理k-論理積形 サーキット サーキット族 サイズ シャープレイ–シュービック指数⇒ Shapley–Shubik 指数弱連結 シャープレイ–シュービック指数Shapley–Shubik power index⇒ Shapley–Shubik 指数弱連結 シャノン展開 シャノン展開⇒Shannon 展開集合 シャノン展開Shannon expansion⇒Shannon 展開集合 シュペルナー シュペルナー⇒ Sperner 超グラフ単純 シュペルナーSperner⇒ Sperner 超グラフ単純 シュペルナー族 シュペルナー族⇒ Sperner 族シュペルナー超グラフ⇒ Sperner 超グラフ主論理積形 シュペルナー族⇒ Sperner 族シュペルナー超グラフSperner hyper-graph⇒ Sperner 超グラフ主論理積形 シュペルナー超グラフ シンク スターリングの スターリングの⇒ Stirling2 項 スターリングのStirling⇒ Stirling2 項 スターリングの反転公式 スターリング数 スターリング数⇒Stirling 数スターリングの反転公式⇒Stirlingの反転公式ストーンの定理⇒Stone の定理正関数 スターリング数⇒Stirling 数スターリングの反転公式⇒Stirlingの反転公式ストーンの定理Stone’s theorem⇒Stone の定理正関数 ストーンの定理 ソース ダイクストラのアルゴリズム タット–ベルジュの定理⇒ Tutte–Berge の定理ダビオ展開⇒ Davio展開単位元 タット–ベルジュの定理⇒ Tutte–Berge の定理ダビオ展開Davio expansion⇒ Davio展開単位元 ダビオ展開 チューリング⇒ Turing 帰着帰着可能 チューリングTuring⇒ Turing 帰着帰着可能 チューリング帰着 チューリング機械 チューリング機械⇒ Turing 機械チューリング帰着⇒ Turing 帰着超木 チューリング機械⇒ Turing 機械チューリング帰着Turing reduction⇒ Turing 帰着超木 ディラックの定理 ディラックの定理⇒ Dirac の定理ディルワースの定理⇒ Dilworth の定理出次数 ディラックの定理⇒ Dirac の定理ディルワースの定理Dilworth’s theorem⇒ Dilworth の定理出次数 ディルワースの定理 ド・モルガンの法則 ド・モルガンの法則 ⇒ De Morgan の法則同型isomorphicグラフ ド・モルガンの法則 ⇒ De Morgan の法則同型グラフ トーナメント トーラス バーコフの定理⇒ Birkhoff の定理バーコフの表現定理⇒ Birkhoff の表現定理排他的論理和 バーコフの定理⇒ Birkhoff の定理バーコフの表現定理Birkhoff’s represen-tation theorem⇒ Birkhoff の表現定理排他的論理和 ハイパーグラフ ハイパー辺 パス ハッセ図 ハッセ図⇒ Hasse 図幅優先探索 ハッセ図Hasse diagram⇒ Hasse 図幅優先探索 ハミルトン ハミルトン⇒ Hamilton路v0-vk ハミルトン⇒ Hamilton閉路有向 ハミルトンHamilton⇒ Hamilton路v0-vk ハミルトンHamilton⇒ Hamilton閉路有向 ハミルトン路 ハミルトン閉路 ハミルトン閉路⇒ Hamilton 閉路ハミルトン路⇒ Hamilton 路パリティ演算 ハミルトン閉路⇒ Hamilton 閉路ハミルトン路Hamilton path⇒ Hamilton 路パリティ演算 バンザフ指数 バンザフ指数⇒Banzhaf 指数反射律 バンザフ指数Banzhaf power index⇒Banzhaf 指数反射律 ピーターセングラフ ブール⇒ Boole 束分配 ブールBoolean⇒ Boole 束分配 ブール変数 ブール束 ブール関数 ブール関数⇒ Boole 関数ブール束⇒ Boole 束ブール変数⇒ Boole 変数深さ ブール関数⇒ Boole 関数ブール束⇒ Boole 束ブール変数Boolean variable⇒ Boole 変数深さ ファンアウト ファンイン フィルター ふるいの公式 フローflows-t フローs-t フロー量 ブロッサムアルゴリズム ベクトルvector偽 ベクトル偽 ヘリー性 ヘリー性⇒ Helly 性ベル数⇒ Bell 数辺 ヘリー性⇒ Helly 性ベル数Bell number⇒ Bell 数辺 ベル数 ホールの定理 ホールの定理⇒ Hallの定理ホーン関数⇒Horn 関数ホーン節⇒ Horn 節ホーン充足可能性問題⇒ Horn 充足可能性問題ホーン変換可能な⇒ Horn 変換可能なホーン変換可能な論理積形⇒ Horn 変換可能な論理積形ホーン論理積形⇒ Horn 論理積形母関数 ホールの定理⇒ Hallの定理ホーン関数⇒Horn 関数ホーン節⇒ Horn 節ホーン充足可能性問題⇒ Horn 充足可能性問題ホーン変換可能な⇒ Horn 変換可能なホーン変換可能な論理積形⇒ Horn 変換可能な論理積形ホーン論理積形Horn conjunctive nor-mal form, Horn CNF⇒ Horn 論理積形母関数 ホーン ホーン⇒ Horn 充足可能性問題終点 ホーン⇒ Horn 節接続行列 ホーン⇒ Horn 論理積形ホーン変換可能な⇒ Horn 変換可能な論理積形論理積標準形 ホーン⇒ Horn 論理積形ホーン変換可能なrenamable Horn,disguised Horn⇒ Horn 変換可能な論理積形論理積標準形 ホーンHorn⇒ Horn 充足可能性問題終点 ホーンHorn⇒ Horn 節接続行列 ホーン充足可能性問題 ホーン変換可能な ホーン変換可能な論理積形 ホーン節 ホーン規則 ホーン論理積形 ホーン関数 マイナー マッチング マトロイド ミルスキーの定理 ミルスキーの定理⇒ Mirsky の定理無限グラフ ミルスキーの定理Mirsky’s theorem⇒ Mirsky の定理無限グラフ メビウスの⇒ M¨obiusピーターセングラフ⇒ Petersen グラフ非一様計算 メビウスの⇒ M¨obiusピーターセングラフPetersen graph⇒ Petersen グラフ非一様計算 メビウス関数⇒ M¨obius の関数メビウスの反転公式⇒ M¨obius の反転公式面 メビウス関数⇒ M¨obius の関数メビウスの反転公式M¨obius inversionformula⇒ M¨obius の反転公式面 メンガーの定理 メンガーの定理⇒Menger の定理目的関数 メンガーの定理Menger’s theorem⇒Menger の定理目的関数 モジュラ モジュラ律 モジュラ恒等式 モジュラ束 モジュラ関数 ユークリッド⇒ Euclid巡回セールスマン問題巡回列 ユークリッドEuclidean⇒ Euclid巡回セールスマン問題巡回列 ユークリッド巡回セールスマン問題 ユークリッド巡回セールスマン問題⇒ Euclid 巡回セールスマン問題有限finite局所 ユークリッド巡回セールスマン問題⇒ Euclid 巡回セールスマン問題有限局所 ユネイト関数 ラッセルの背理 ラッセルの背理 ⇒ Russell の背理ラプラス行列⇒ Laplace 行列リード–マラー標準形⇒ Reed–Muller 標準形リーマンのゼータ関数⇒ Riemann のゼータ関数離散最適化問題 ラッセルの背理 ⇒ Russell の背理ラプラス行列⇒ Laplace 行列リード–マラー標準形⇒ Reed–Muller 標準形リーマンのゼータ関数Riemann zetafunction⇒ Riemann のゼータ関数離散最適化問題 ラプラス⇒ Laplace 行列隣接 ラプラスLaplacian⇒ Laplace 行列隣接 ラプラス行列 リーマンのゼータ関数 リテラルliteral正 リテラル正 リンク ワグナーの定理 ワグナーの定理⇒ Wagner の定理和グラフ ワグナーの定理Wagner’s theorem⇒ Wagner の定理和グラフ 一様計算 三次元空間への埋め込み 三段論法 三角不等式 三角化 三角化グラフ 上界 上限 下界 並列 並列辺 中心 主節 主論理和形 主項 互いに素 交わり半束 交互 交互路 交互閉路 交差 交差グラフ 交換公理 交換律 代数的 代数的双対 代表要素 偽ベクトル 優モジュラ関数 優双対 充足可能性問題 先祖 入次数 全体 全体集合 全単射 全域 全域木 全射 全張 全張木 全称記号 全順序 全順序集合 共通グラフ 共通部分 共通集合 内向 内向木 内素 内面 内項 冗長な 冗長な論理和形 冗長な論理積形 写像 冪等律 冪集合 凸部分束 分割 分配律 分配束 分離点集合 分離辺集合 初等 初等的な 初等的な路 初等的な閉路 初等路 初等閉路 制約条件 制限 割当て 加法的 加算 劣モジュラ関数 劣双対 包除原理 区間 区間a-b 区間intervala-b 区間グラフ 半径 半束semilattice交わり 半束交わり 半順序 半順序同型 半順序同型写像 半順序集合 単位 単位ベクトル 単体的 単体的頂点 単射 単純 単純グラフ 単純グラフ化 単純有向グラフ 単純超グラフ 単純路 単純閉路 単読論理式 単調な 単調な論理式 単調論理和形 単調論理積形 単調関数 原子元 双対 双対グラフ 双対性 双対論理式 双対関数 反対称律 反転公式inversion formulaM¨obius 反転公式M¨obius 反鎖 反鎖カバー 反鎖被覆 可算集合 合意手続き 合意項 同値な 同値性 同値関係 同値類 同値類分割 否定 否定論理和 否定論理積 否定部分割当て 含意 吸収律 命題変数 和集合 商集合 問題 問題例 回路計算量 埋め込みembedding三次元空間への 埋め込み三次元空間への 基族 基本 基本カットセット 基本サーキット 境界 増加 増加路 外向 外向木 外節 外面 多対一 多対一帰着 多対一帰着可能 多数決 多数決ベクトル 多数決関数 多重 多重グラフ 多重有向グラフ 多重辺 多項式時間 多項式時間帰着 大域的 大域的最適性 始点 子孫 存在記号 孤立点 安定 完全 完全 k 部グラフ 完全グラフ 完全主論理和形 完全主論理積形 完全単模性 完全消去順 実行可能 実行可能解 容量制約 対称 対称巡回セールスマン問題 対称差 対称差集合 対称律 導出手続き 導出節 局所有限 局所的最適性 巡回セールスマン問題 差集合 帰着reductionTuring 帰着Turing 平面 平面グラフ 平面埋め込み 平面描画 幾何的 幾何的双対 弦グラフ 強連結 強連結成分 彩色 彩色数 恒偽 恒真 指数型 指数型母関数 指標関数 探索 探索search幅優先 探索幅優先 接続 接続する 推移律 握手補題 擬順序 擬順序集合 整数計画問題 既約 既約元 普遍 普遍集合 最大 最大反鎖 最大反鎖カバー 最大流最小カット定理 最大節 最大鎖 最大鎖カバー 最大項 最小 最小全域木問題 最小項 最短 s-t 最短 s-t 路 最短路 最短路木 最適 最適化問題 最適性optimality局所的 最適性局所的 最適解 有向 有向グラフ 有向木 有向路 有向閉路 有界 有界束 有限 有限グラフ 有限束 有限集合 束同型写像 束準同型写像 極大 極大クリーク 極大偽ベクトル 極大元 極大流 極大要素 極小 極小元 極小真ベクトル 極小要素 構成的証明法 標準的 標準的埋め込み 次数 次数行列 欲張りアルゴリズム 正リテラル 正則 正則グラフ 正則関数 正論理式 比較不可能 比較不能 比較可能 比較可能グラフ 比較可能律 決定 決定リスト 決定問題 決定図 決定木 流flows-t 流s-t 流量 流量保存則 深さ優先 深さ優先探索 点連結度 無向 無向グラフ 無向辺 無限 無限集合 独立 独立集合 独立集合族 理想 理想グラフ 環和標準形 直交 直交論理和形 直和 直和集合 直径 直積 直積集合 相補 相補律 相補束 真Horn節 真Horn論理積形 真Horn関数 真ベクトル 真ホーン節 真ホーン論理積形 真ホーン関数 真ホーン関数⇒ 真 Horn 関数真ホーン節⇒ 真Horn 節真ホーン論理積形⇒ 真 Horn 論理積形真理値表 真ホーン関数⇒ 真 Horn 関数真ホーン節⇒ 真Horn 節真ホーン論理積形definite Horn conjunc-tive normal form, definite Horn CNF⇒ 真 Horn 論理積形真理値表 真部分集合 矛盾変数 確定 確定Horn節 確定ホーン節 確定ホーン節⇒確定 Horn 節下限 確定ホーン節definite Horn clause⇒確定 Horn 節下限 禁止 禁止マイナー 禁止細分 禁止部分束 種数 積グラフ 空グラフ 空集合 立体射影 端点 符号なし 第 1 種 第 1 種Stirling数 第 1 種スターリング数 第 1 種スターリング数⇒ 第 1 種 Stirling数ダイクストラのアルゴリズム⇒ Dijkstra のアルゴリズム台集合 第 1 種スターリング数⇒ 第 1 種 Stirling数ダイクストラのアルゴリズムDijkstra’salgorithm⇒ Dijkstra のアルゴリズム台集合 第 2 種 第 2 種Stirling数 第 2 種スターリング数 第 2 種スターリング数⇒ 第 2 種 Stir-ling 数代表元 第 2 種スターリング数Stirling numberof the second kind⇒ 第 2 種 Stir-ling 数代表元 節点 細分 終点 結び 結び半束 結ぶ 結合律 線グラフ 線形計画問題 線形順序 線形順序集合 緩和問題 縮約する 自己ループ 自己双対 自己閉路 行列(matrix)Laplace 行列ラプラス 補グラフ 補元 補助ネットワーク 補木 補集合 要素 解solution許容 解許容 許容解 証拠 誘導 誘導部分グラフ 論理和 論理和形 論理和標準形 論理回路 論理変数 論理積 論理積形 論理関数 負リテラル 負関数 貪欲アルゴリズム 超グラフ 超辺 距離の公理 距離空間 路長 辞書式順 辞書式順序 辺素 辺連結度 逆の関係 連結 連結成分 部分 部分グラフ 部分割当て 部分束 部分関係 部分集合 重複 重複組合せ 重複順列 鎖カバー 鎖被覆 長さ 閉路 閉路長 閾関数 除去する 階数関数 隣接する 隣接行列 集合 集合族 集合束 離心率 離散 零元 零流 非冗長な 非冗長な論理和形 非可算 非可算集合 非対称 非対称巡回セールスマン問題 非決定性 非決定性Turing機械 非決定性チューリング機械 非決定性チューリング機械⇒ 非決定性Turing 機械非冗長な論理積形 非決定性チューリング機械nondetermin-istic Turing machine⇒ 非決定性Turing 機械非冗長な論理積形 非決定性多項式時間 頂点 頂点被覆 順列