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吉田 善章、永長 直人、石村 直之、西成 活裕著

東京大学工学教程編纂委員会編

目次

はじめに
1 非線形数学ヘ向けた序説
1.1 線形理論の概観
1.1.1 ベクトル空間と線形写像
1.1.2 定 義 域 ，値 域
1.1.3 核， 余 核
1.1.4 スペクトル分解
1.1.5 グラフ
1.1.6 線形作用素の環
1.1.7 線形作用素の関数
1.2 非線形現象の原形
1.2.1 スケール
1.2.2 非線形領域
1.2.3 特異性
1.2.4 襞
2 基本となる方法
2.1 トポロジー的方法
2.1.1 写像度
2.1.2 不動点定理
2.2 解析学的方法
2.2.1 逐次代入法
2.2.2 単調作用素
2.2.3 変分法
2.3 代数学的方法
2.3.1 線形理論に潜む非線形問題
2.3.2 Lax 方程式
2.3.3 代数的構造と対称性
2.4 幾何学的方法
2.4.1 Hamilton 力学の一般的形式
2.4.2 正準形式とシンプレクティック幾何学
2.4.3 非正準 Hamilton 力学系と葉層構造
2.4.4 対称性と可積分性
3 スケーリングとくりこみ群
3.1 問題の導入 相転移と臨界現象
3.2 汎関数積分と鞍点法
3.3 スケーリング仮説と異常次元
3.4 くりこみ群
3.4.1 くりこみ群の方程式
3.4.2 固定点
3.4.3 固定点のまわりの挙動
3.4.4 臨界指数の計算
4 分岐・アトラクター・カオス
4.1 典型的な非線形方程式
4.1.1 Lorenz 方程式
4.1.2 反応拡散方程式
4.1.3 Navier-Stokes 方程式
4.2 平衡点の安定性
4.2.1 線形系の場合
4.2.2 線形化方程式
4.2.3 安定多様体・不安定多様体
4.3 分岐理論
4.3.1 1パラメタ分岐
4.3.2 中心多様体定理
4.4 アトラクター
4.4.1 作用素の半群
4.4.2 吸引集合とアトラクター
4.4.3 例: Lorenz 方程式
4.4.4 例: 非線形偏微分方程式
4.4.5 アトラクターの安定性
4.5 カオス
4.5.1 Li-Yorkeの定理
4.5.2 カオスとは何か
4.5.3 Hausdorff 次元・フラクタル次元
4.5.4 Lyapunov 次 元
5 非線形波動・ソリトン
5.1 はじめに
5.1.1 ソリトン小史
5.1.2 非線形と分散
5.1.3 ソリトン方程式と物理系
5.1.4 ソリトンの性質
5.2 ソリトン理論
5.2.1 直接法
5.2.2 Lax ペ ア
5.3 Painlev´eテスト
5.3.1 常微分方程式の Painlev´e 性
5.3.2 偏微分方程式の Painlev´e 性
5.4 ソリトン方程式の階層
5.4.1 Burgers 方程式の階層
5.4.2 KP 階 層
5.4.3 ソリトン解の構成
5.5 曲線の運動とソリトン
5.6 超離散法
5.6.1 セルオートマトン
5.6.2 超離散法とは
5.6.3 超離散 Burgers 方程式
5.6.4 超離散法の課題
参考文献
索 引

キーワード

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