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藤原 毅夫著

東京大学工学教程編纂委員会編

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目次

はじめに
1 複素積分特論
1.1 位相と位相空間
1.1.1 位相
1.1.2 連続写像の同値関係
1.1.3 ループと基本群
1.1.4 ホモトピーとループの積
1.1.5 写像度または巻き数
1.2 閉曲線に関する点の指数と一般化された留数の定理
1.2.1 閉曲線に関する点の指数(回転数)
1.2.2 Cauchy の積分公式の一般化
1.2.3 留数の定理の一般化
1.3 留数の定理の応用：偏角の原理およびRouch´e の定理
1.3.1 偏角の原理
1.3.2 Rouch´e の定理
2 解析接続とRiemann 面
2.1 一致の定理と鏡像の原理
2.1.1 一致の定理
2.1.2 鏡像の原理
2.2 解析接続とRiemann 面
2.2.1 解析接続
2.2.2 1 価性定理
2.2.3 Riemann 面
2.2.4 自然境界
3 有理型関数
3.1 有理型関数の部分分数展開と整関数の無限乗積表示
3.1.1 有理型関数の部分分数展開
3.1.2 整関数の無限乗積表示
3.2 Γ 関数とB関数
3.2.1 Γ 関数とその解析接続
3.2.2 B 関数
3.2.3 Stirling の公式とΓ 関数の漸近展開
4 楕円積分と楕円関数
4.1 楕円積分
4.2 楕円関数
4.2.1 2 重周期
4.2.2 楕円関数の定義
4.2.3 楕円関数の基本的な性質
4.2.4 Weierstrass の℘ 関数
4.2.5 Jacobi の楕円関数snw, cn w, dnw
5 複素変数の常微分方程式
5.1 微分方程式と級数解
5.1.1 複素変数に対するn 階線形常微分方程式
5.1.2 正則点のまわりの級数解
5.1.3 確定特異点のまわりの級数解
5.1.4 確定特異点のまわりの解に対するFrobenius の方法
5.1.5 無限遠点のまわりの級数解
5.2 Riemann のP 関数とGauss の超幾何関数
5.2.1 Fuchs 型微分方程式とRiemann のP 関数
5.2.2 Gauss の超幾何微分方程式と超幾何関数
5.2.3 超幾何微分方程式の解の大局的性質
5.2.4 超幾何関数の漸化式
5.3 不確定特異点をもつ微分方程式：合流型関数
5.3.1 Kummer の合流型超幾何微分方程式と合流型超幾何関数
5.3.2 Kummer の合流型超幾何関数の漸化式
5.3.3 不確定特異点のまわりの解と漸近展開式
6 直交多項式
6.1 有限区間(a, b) での直交多項式
6.1.1 直交多項式の定義
6.1.2 内積の定義と直交多項式Fn(x) の直交性
6.2 無限区間(a,∞) での直交多項式
6.2.1 直交多項式の定義
6.2.2 内積の定義と多項式Gn(x) の直交性
6.3 無限区間(−∞,∞) での直交多項式
6.3.1 直交多項式の定義：Hermite 多項式
6.3.2 内積の定義とHermite 多項式Hn(x) の直交性
6.4 直交多項式が満足する微分方程式
7 超幾何関数で書かれる諸関数
7.1 物理学の問題：球対称な系における物理現象と偏微分方程式
7.1.1 Laplace 演算子の3 次元極座標表示
7.1.2 球面調和関数
7.2 Legendre の微分方程式とLegendre 関数:P 関数の例
7.2.1 Legendre の微分方程式
7.2.2 Legendre 関数
7.2.3 Legendre 関数の漸化式
7.3 Legendre 多項式
7.3.1 第1 種Legendre 多項式
7.3.2 第2 種Legendre 多項式
7.3.3 Legendre 多項式の直交関係と規格化積分
7.3.4 Legendre 多項式の母関数表示
7.4 Legendre の陪関数とLegendre の陪多項式
7.4.1 Legendre の陪微分方程式とLegendre の陪関数
7.4.2 Legendre の陪関数の漸化式
7.4.3 Legendre の陪多項式
8 合流型超幾何関数で書かれる諸関数
8.1 Weber–Hermite の微分方程式とHermite 関数
8.1.1 物理の問題:調和振動子
8.1.2 Weber–Hermite の微分方程式と級数解
8.1.3 Hermite多項式
8.1.4 Hermite 多項式の直交性と規格化積分
8.1.5 Hermite 多項式の母関数
8.2 Laguerre の微分方程式とLaguerre 関数
8.2.1 物理の問題：水素原子
8.2.2 Laguerre の微分方程式あるいは陪微分方程式と級数解，多項式解
8.2.3 Laguerre の陪多項式および多項式に関する直交性と規格化積分
8.2.4 Laguerre の多項式の母関数
8.3 Bessel の微分方程式とBessel 関数
8.3.1 物理の問題：丸い太鼓(円形膜) の振動
8.3.2 Bessel の微分方程式と合流型超幾何関数による解の表現
8.3.3 整数次のBessel 関数
8.3.4 半整数のBessel 関数，球Bessel 関数
参考文献
おわりに
索引

キーワード

1 価性定理 2 重周期関数 B 関数 Bessel の微分方程式 Bessel 関数 Cauchy の積分公式 Euler の第1 積分 Euler の第2 積分 Frobenius の方法 Fuchs の関係 Fuchs 型微分方程式 Gauss の超幾何微分方程式 Gauss の超幾何級数 Gauss の超幾何関数 Hermite の微分方程式 Hermite 多項式 Jacobi の多項式 Jacobi の楕円関数 Kummer の変換公式 Kummer の微分方程式 Laguerre の多項式 Laguerre の微分方程式 Laguerre の陪多項式 Laguerre の陪微分方程式 Laplace 方程式 Legendre の微分方程式 Legendre の陪多項式 Legendre の陪微分方程式 Legendre の陪関数 Legendre 多項式 Legendre 関数 Legendre–Jacobi の標準形 Legendre–Jacobi の標準形レムニスケート Neumann 関数 Papperitz の微分方程式 Pochhammer 記号 Riemann スキーム Riemann のP 関数 Riemann 面 Rodrigues の公式 Rouch´e の定理 Schwarz–Christoffel 変換 Stirling の公式 Weber の微分方程式 Weierstrass の℘ 関数 Weierstrass のζ 関数 Weierstrass の解析接続 Γ 関数 ε 近傍 トーラス ホモトープ ホモトピー ホモトピー群 ホモロジー同値 モノドロミー定理 モノドロミー群 ループ 一致の定理 不完全楕円積分 主要部 代数学の基本定理 位相 位相空間 公式サイクロイド 公式決定方程式 内点 内積 写像度 分方程式円形膜の振動 単連結 合流型超幾何微分方程式 合流型超幾何級数 合流型超幾何関数 同値関係 周期平行四辺形 回転数 基本周期 基本変換 基本群 基点 境界 完全楕円積分 巻き数 幾何微分方程式確定特異点 微分方程式不確定特異点 指数 有理型 有理型関数 楕円積分 楕円関数 極の位数 正則点 母関数 漸近展開 漸近級数 無限乗積 球Bessel 関数 球Neumann 関数 球面調和関数 留数の定理の一般化 直交関係 程式偏角の原理 空集合 自然境界 解析接続 超幾何級数 超幾何関数 距離空間 近傍 通常点 連続 連続写像 部分分数展開 鏡像の原理 閉路 開集合 集合 零点の位数 鞍点法