基礎系　数学 - 基礎

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藤原 毅夫著

東京大学工学教程編纂委員会編

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目次

はじめに
1 複素数とその関数
1.1 複素数
1.1.1 複素数の定義
1.1.2 複素数の加減乗除
1.2 複素平面
1.2.1 複素平面と複素数
1.2.2 複素数の2 次元極座標による表示
1.2.3 Euler の公式と複素数の極形式
1.2.4 複素数のベき乗とべき根
1.3 複素数の数列と級数
1.3.1 数列と極限
1.3.2 級数とその収束
2 複素関数と正則性
2.1 複素関数とその連続性
2.2 複素関数の微分可能性と正則性
2.2.1 複素関数の微分
2.2.2 微分の公式
2.2.3 Cauchy–Riemann の関係と逆関数定理
2.2.4 z による偏微分と¯z による偏微分
3 初等関数
3.1 無限遠点
3.2 べき級数
3.2.1 べき級数の収束
3.2.2 収束半径
3.3 指数関数，三角関数，双曲線関数
3.3.1 指数関数
3.3.2 三角関数，双曲線関数
3.4 対数関数
3.4.1 対数関数の定義と主値
3.4.2 対数関数の多価性とRiemann 面
3.5 一般のべき関数と多価性
3.5.1 べき関数の定義
3.5.2 多価関数w = z1/n の写像とRiemann 面
3.6 無限乗積
3.6.1 無限乗積の定義と収束・発散
3.6.2 無限乗積の例(sin z, cosz の無限乗積表示)
4 等角写像
4.1 等角写像の定義
4.2 簡単な等角写像の例
4.3 1 次変換
4.3.1 整関数および有理関数
4.3.2 1 次分数関数と1 次変換
4.3.3 1 次変換の例(等角写像)
4.4 調和関数と等角写像
4.4.1 等角写像によるLaplace 方程式の変換
4.4.2 電磁気学，流体力学における調和関数
4.4.3 電磁気学への応用
4.4.4 流体力学への応用
5 特異点
5.1 孤立特異点
5.1.1 除きうる特異点
5.1.2 極
5.1.3 真性(孤立)特異点
5.2 集積特異点
5.3 分岐点
6 複素積分
6.1 Jordan 閉曲線と正則領域の形
6.2 複素積分の定義
6.3 複素積分の基本的性質
6.4 Cauchy の積分定理
6.4.1 Cauchy の積分定理
6.4.2 不定積分とその正則性
6.4.3 対数関数の多価性と1/z の積分
6.5 留数
6.5.1 留数の定義と留数の定理
6.5.2 無限遠点の留数
6.6 複素積分の応用
6.6.1 留数の定理の応用(定積分の計算)
6.6.2 定積分における多価関数の分岐点の取扱い
7 Cauchyの積分公式と複素関数のべき級数展開
7.1 Cauchy の積分公式とそれから導かれる定理
7.1.1 Cauchy の積分公式
7.1.2 最大値の原理とLiouville 定理
7.1.3 代数学の基本定理
7.2 Cauchy の積分定理と正則性
7.2.1 Goursat の定理とMorera の定理
7.2.2 Goursat の定理の応用
7.3 Taylor 展開およびLaurent 展開
7.3.1 Taylor 展開(正則点のまわりのべき級数展開)
7.3.2 Laurent 展開
参考文献
おわりに
索引

キーワード

1 次分数関数 1 次変換 1 次関数 2 次元ベクトル Cauchy–Hadamardの定理 Cauchy–Riemannの関係 Cauchy–コーシー–アダマールの定理 Cauchy–コーシー–リーマンの関係 Cauchyの主値積分 Cauchyの収束判定定理 Cauchyの積分公式 Cauchyの積分定理 Cauchy列 de Moivreの定理 Eulerの公式 Gauss平面 Goursatの定理 Jordanの補題 Jordan曲線 Joukowski変換 Laplace方程式 Laurent展開 Liouvilleの定理 M¨obius変換 M¨メビウス変換 Moreraの定理 Picardの定理 Poissonの積分表示 Riemann球面 Riemann面 Schwarz–Christoffel変換 Schwarz–シュワルツ–クリストッフェル変換 Taylor展開 Weierstrassの定理 オイラーの公式 ガウス平面 グルサの定理 コーシーの主値積分 コーシーの収束判定定理 コーシーの積分公式 コーシーの積分定理 コーシー列 ジューコフスキー変換 ジョルダンの補題 ジョルダン曲線 テイラー展開 ド・モアブルの定理 ピカールの定理 べき乗 べき級数 べき関数 ポアソンの積分表示 モレラの定理 ラプラス方程式 リーマン球面 リーマン面 リウヴィルの定理 ローラン展開 ワイエルシュトラスの定理 一様収束 三角関数 不定積分 主要部 乗法 交換法則 代数学の基本定理 代数的分岐点 偏角 共役な調和関数 共役複素数 共役複素数の位数 円–円対応 分岐点 分配法則 切断 加法 単連結 原始関数 双曲線関数 収束 収束円 収束半径 基本列 多価関数 多重連結 多項式 孤立特異点 実軸 実部 対数的分岐点 対数関数 導関数 広義一様収束 循環 微分係数 微分可能 微分演算 指数法則 指数関数 数列 整関数 最大値の原理 有理整関数 有理関数 極形式 極限値 正則 正則点 正則関数 流れの関数 減法 渦なしの流れ 渦度 無限乗積(無限積) 無限級数 無限遠点 特異点 留数 留数の定理 発散 真性(孤立) 特異点 積分路 等角 等角写像 結合法則 絶対値 絶対収束 虚数単位 虚軸 虚部 複素共役 複素平面 複素数 複素積分 複素関数 調和関数 逆数 逆関数定理 速度ポテンシャル 連続性 除きうる特異点(除去可能特異点) 除法 集積特異点 電気力線 静電ポテンシャル 項別微分 項別積分